quarta-feira, 21 de outubro de 2009

Último Teorema de Fermat...



Permitam-me falar de matemática...

A matemática sempre foi um bicho de 7 cabeças na complexa beleza que faz acompanhar os seus números. No entanto, como acontece na Física, interesso-me pelos assuntos que possam ser lidos por leigos como eu.

Um desses assuntos é o "Último Teorema de Fermat". Reparem só na beleza do título:

Último Teorema de Fermat

Podia ser "Pescada de Bacalhau" ou "Último autocarro para Fermentelos", mas não. É o "Último Teorema de Fermat". Até nisto os matemáticos gostam de meter alguma poesia.

Pierre de Fermat foi um jurista e magistrado do século XVII. Só que para além da sua profissão, Fermat dedicava-se à matemática nas suas horas livres. E o génio nota-se aqui. Embora não fizesse da matemática a sua vida, Pascal (um gigante na Matemática) considerou-o o melhor matemático do seu tempo. É denominado o Príncipe dos amadores por isso mesmo.

Acontece que num belo dia de sol, Fermat estava a ler o livro Arithmetica quando chega ao problema matemático II.8. Este problema perguntava como dividir um número ao quadrado em dois outros números ao quadrado:



Ao qual é muito fácil ver que se substituirmos o k=5 então chegamos lá depressa e vemos que com u=3 e v=4 verificamos a condição. Basicamente o que ali está é o Teorema de Pitágoras que todos nós aprendemos na escola.

Só que Fermat era um mafarrico e ao lado deste problema, na própria página (em jeito de apontamento), escreveu em latim o seguinte:

"É impossível separar um cubo em dois cubos, ou uma potência de quatro (x^4) em duas outras duas potências de quatro, ou a nível geral, qualquer potência maior que 2 em duas outras potências iguais."

Confusos? Então agora vejam que o homem escreveu isto em Latim e tudo...Este matemáticos só não sabem cozer meias porque de resto são paus para toda a obra.

Só que ele ainda continua e manda a boca do século quando conclui:

"Eu descobri uma maravilhosa prova disto na qual a esta margem é demasiado pequena para contê-la."

Lindo.
Fermat abre assim um enigma que viria assombrar matemáticos durante séculos...

Vamos lá por isto numa forma visual para percebermos o que Fermat queria dizer.



Ele pegou no exemplo de Diophanto em que a potência era SEMPRE 2 e afirmou que se mudarmos essa potência (n) para qualquer número inteiro positivo e maior do que 2 então a igualdade NUNCA se irá concretizar. Nunca, dizia ele, encontraremos um x, um y e um z que tenham o mesmo n (maior que 2) que satisfaça aquela condição. Podem tentar aí em casa. Substituam o n por 3 e tentem encontrar um x e um y que quando adicionados dêem um z. Agora tentem provar isto para a infinidade de números.

Fermat afirmou que seria impossível. E mais, ainda gozou na cara de matemáticos brilhantes como Euler, Gauss e tantos outros génios puros da matemática quando afirma que não demonstra esta impossibilidade porque falta-lhe espaço para escrever...

Muitos foram os matemáticos que amaldiçoaram aquela margem do livro...

Durante cerca de 358 anos (mais de 3 séculos) foram milhares as mentes brilhantes que se debruçaram sobre aquela pequena equação descrita na margem de um livro por um matemático amador, tornando o "Último Teorema de Fermat" no Santo Graal da Matemática. Durante mais de 3 séculos, génios revolucionários da matemática como Gauss e Euler não conseguiram provar aquela pequena irritante equação.

Com o advento dos computadores foram testados milhões de algarismos com diferentes valores para x, y, z e n e a igualdade xn + yn = zn não se verificou. Assim empiricamente se comprova que Fermat tinha razão. Mas milhões de números testados ainda estão muito longe de provar para a infinidade numérica.

Faltava a demonstração geral para qualquer número. É que milhões de números diferentes testados continuam a ser uma quantidade de números testados. Nós precisamos de demonstrar para qualquer número.

Um empresário e matemático alemão – Paul Wolfskehl – na noite que decidira suicidar-se em sua biblioteca, depara com o Último Teorema de Fermat, e muda de ideias. No seu testamento, deixou a quantia de 100.000 marcos para quem o demonstrasse.

É óbvio que durante estes 358 anos, principalmente no século XIX e XX foram criados inúmeros prémios para quem conseguisse desvendar a demonstração do teorema. Foram recebidas milhões de demonstrações, por vezes em alguns Institutos o tamanho da correspondência atingia os 3 metros de altura. As tentativas iam desde génios até aos amadores mas sempre com insucesso...

A ajuda viria a partir de um campo revolucionário da matemática chamada de Formas Modulares. Em 1955, dois japoneses desenvolveram uma teoria denominada de Conjectura Taniyama-Shimura. Esta conjuctura foi principalmente desenvolvida por Taniyama e viria a revolucionar a matemática. Infelizmente Taniyama cometeu suicidio em 1958 por depressão. Este génio da matemática que prometia revolucionar o mundo mata-se por depressão...

A importância desta conjuctura é que uma das suas consequências é exactamente o Último Teorema de Fermat. Mas foi só em 1995 que um antigo matemático da Universidade de Cambridge viria a descobrir essa consequência.

Sir Andrew John Wiles é o seu nome e durante mais de 7 anos trabalhou em segredo, conseguindo conquistar o Santo Graal na última década do milénio passado...



Durante mais de 358 anos aquela pequena equação conseguiu iludir as maiores mentes que este mundo viu, sendo um relativo desconhecido aluno de Cambridge conseguiu subir aos ombros dos deuses e ver assim a solução para um enigma com mais de 3 séculos escrito na margem de um livro...

A demonstração de Wiles tem mais de 100 páginas e pode ser apenas compreendida por um grupo restrito de matemáticos no mundo inteiro, dando razão a Fermat quando afirmava que "não tinha espaço suficiente naquela margem para demonstrar o teorema"...


5 Comentarios:

Anónimo disse...

ESSA formula=x^n+y^n=x+y(x.y+n/n) para n=3.

johnnie walker disse...

er...
certamente que poderia desenvolver o seu comentário um pouco mais, para um pobre ignorante como eu...

johnnie walker disse...

Se substituirmos o X=2 e o Y=3 e o N=3, entao temos:

2^3+3^3=2+3(2.3 + 3/3)

<=>

35=23

Se os meus cálculos estão correctos. Então, a igualdade não se concretiza...

Anónimo disse...

Mas o fato é que Fermat afirmou realmente que para n > 2 a equação não se realizaria, não teria solução. Não é nada espantoso ter encontrado 35 # 23. O estranho, mas completamente estranho é ter, do nada, achado que :
z^n = x+y(x.y+n/n
e pior, para n = 3.
Aí é forçar a barra mesmo !!!!!

johnnie walker disse...

hmmm...

Estou a ver...

Obrigado pelo input !